cauchy.nr <- function(y,theta.j) {
  numer <- sum((y-theta.j)/(1+(y-theta.j)^2))
  denom <- sum(((y-theta.j)^2-1)/((1+(y-theta.j)^2)^2))
  return(theta.j-numer/denom)
}

cauchy.llik <- function(y,theta) {
  return(-1*sum(log(1+(y-theta)^2)))
}

y <- rcauchy(30,10,3)

qqnorm(y)

median(y)

cauchy.llik(y,median(y))

t.1 <- cauchy.nr(y,median(y))
t.1
cauchy.llik(y,t.1)

t.2 <- cauchy.nr(y,t.1)
t.2
cauchy.llik(y,t.2)

t.3 <- cauchy.nr(y,t.2)
t.3
cauchy.llik(y,t.3)