Convex Bodies in High Dimensions

 

גופים קמורים במימדים גבוהים

 

סמסטר אביב 2007

 

מרצה: שירי ארטשטיין-אבידן

טלפון: 640-7614

(artstein at gmail.com)דוא"ל:

 

שעות הקורס: יום ב', 14:10-16:00, שרייבר 209, ויום ג', 14:10-15:00, אורנשטיין 110.

(ייתכן וישתנו בהתאם לבקשת התלמידים, הוחלט לדון על כך ביום ב' הבא)

 

שעת קבלה: יום ג', 15:10-16:00, ולפי בקשה מיוחדת בדוא"ל.

 

דרישות בקורס: התלמידים הזקוקים לציון יגישו עבודה בנושא שיסוכם עליו, באופן אישי עם כל אחד, במהלך הקורס (על מנת לבחור נושא, אפשר למשל להיעזר בספרים הרשומים מטה, או לבחור להרחיב על נושא שנגענו בו באחד השיעורים). נושאים אופציונליים לעבודה: עדיפות לנושאים שאנו נוגעים בהם במהלך השיעור אך לא נכנסים לעומקם, אך אפשר גם נושאים קשורים שמעניינים אתכם במיוחד. בתחתית העמוד אוסיף מדי פעם רעיונות ואפשרויות. אם בחרתם אחד מהם, הודיעו לי (ואוציא אותו מן הרשימה). לאחר הפסח ניפגש באופן אישי ונחליט על נושאים. אם יסתייע, בשיעורים האחרונים כל אחד יציג את נושא העבודה שלו בקצרה.  

 

תוכנית הקורס: בכוונתי להודיע בתחילת כל שבוע, באתר, מה הנושאים שיילמדו באותו שבוע.

 

בשבוע הראשון, מעבר להקדמות, שכללו כמה חישובים בסיסיים, טרמינולוגיה, ומעט מבט-אל-המתוכנן-בקורס, נלמד על האי-שיווין האיזופרמטרי ועל אי-שיווין ברון-מינקובסקי, אותו נוכיח במהלך השבועות הראשונים בכמה אופנים שונים, כל גישה בעלת חשיבות משלה. בשבוע זה הוכחנו את ברון-מינקובסקי בשיטת המלבנים, ראינו איך הוא גורר את האי שוויון האיזופרימטרי (וגם, בהסתמך על מקרי השוויון בב"מ, את מקרה השוויון – רמזנו איך לקבל ונשאר בתור תרגיל) ודיברנו על עקרון הקעירות של ברון.

 

בשבוע השני, הוכחנו את עקרון הקעירות בעזרת סימטריזציות שטיינר, ושקילות מלאה של עקרון זה לאי-שוויון ברון-מינקובסקי, דנו באופן לא פורמאלי בהוכחת האי-שוויון האיזופרימטרי על הספירה, ונתנו שתי הוכחות נוספות לברון מינקובסקי, הוכחה של קנותה והוכחה של ברנייר, כאשר על מנת לדון בהרחבה בהוכחת ברנייר נגדיר מהי טרנספורטציה של מידה ונוכיח כמה משפטים בסיסיים בקשר אליה, ובמיוחד קיום של פונקציה קמורה שהגרדיאנט שלה מבצע העברת מידה, אופטימאלית ביחס למחיר ריבועי.

 

בשבוע השלישי, השלמנו כמה עובדות בקשר לאי-שוויון ברון-מינקובסקי ולמקרה השוויון שלו, ודיברנו על מספר אנלוגיות בין מטריצות לבין גופים קמורים. תארנו תוצאה של אלסקר-דר-מילמן לגבי קיום של פונקצית העברת מידה מיוחדת, שלא מאבדת מידע ביחס לסכום מינקובסקי של הגופים. בפרט, זה איפשר לנו להוכיח בקלות את העובדה שהנפח של סכום של מספר גופים, עם מקדמים אי-שליליים, שהו פולינום הומוגני מדרגה שהיא המימד, במקדמים אלה. דיברנו מעט על המקדמים הללו, לחלקם נתנו (או הבנו את ה-) משמעות גיאומטרית. כמוכן, ראינו כיצד אי-שוויון ברון-מינקובסקי גורר אי-שוויונות מסוימים על המקדמים הללו. חלקם מוכרים יותר, כמו האי שוויון האיזופרמטרי, וחלקם פחות, כמו אי-שוויון אוריסון המקשר בין רוחב ממוצע לבין נפח. לא דיברנו על אוסף אי-השוויונות המלא שמתקיים, אלה נקראים א"ש אלכסנדרוף-פנקל, והם נידונו בקורס אחר (של סמיון אלסקר, סמסטר א'). לבסוף, הוכחנו הכללה פונקציונאלית של א"ש ברון-מינקובסקי, מה שנקרא משפט פרקופה-לינדלר, באינדוקציה.  

 

בשבוע הרביעי, דיברנו על שימושים של א"ש פרקופה-לינדלר. הגדרנו מידה לוג-קעורה וראנו שפ"ל גורר כי הטלות של מידות לוג-קעורות הן לוג-קעורות, כמוכן מידות בעלות צפיפות לוג-קעורה הן לוג-קעורות (בפרט, מידה גאוסית), וקונבולוציה של מידות לוג-קעורות גם היא לוג-קעורה. דנו גם במשפטים ההפוכים, הגורסים כי לכל מידה לוג-קעורה בעלת תומך ממימד מלא יש צפיפות לוג-קעורה, ושאוסף המידות שמתקבלות על ידי הטלות של גופים קמורים (שהן לוג-קעורות על פי עקרון ברון). דיברנו על קשר בין מידת הקעירות של צפיפות לבין מידת הקעירות של המידה שהיא מגדירה, וראנו שחוץ מאשר במקרה של לוג-קעירות, המימד נכנס לתמונה. לאחר מכן דיברנו על תוצאות ריכוז מידה למידה גאוסית, והוכחנו אותן בעזרת האינפ-טרנספורם, כמסקנה נוספת מפרקופה-לינדלר. למעשה הוכחנו את התוצאה למידות לוג-קמורות יותר כלליות, כאלה שהן "לוג-קמורות-ממש" ז"א שיש הערכה מלמטה של ההסיאן שלהן ע"י קבוע כפול הזהות. לאחר מכן הוכחנו את אי-שוויון בורל, שגם הוא תוצאה לגבי ריכוז של מידה לוג-קעורה, ללא כל תנאים נוספים על המידה. ההערכה בו (כמצופה) גרועה יותר מאשר עבור המידה הגאוסית, אך היא הטובה ביותר שאפשר לצפות לה (עד כדי הקבועים).

בשיעור של יום ג' ראינו שימוש לאי-שוויון בורל: הוכחנו בעזרתו משפחה נרחבת של אי-שוויונות חשובים שהוכיח קהאן (שהם הכללה של אי-שוויון חינצ'ין), הסברנו משמעות גאומטרית אפשרית שלהם.

 

בשבוע החמישי נדבר על מרחק בנך-מזור בין גופים קמורים, על אליפסואיד בעל נפח מירבי הנמצא בתוך גוף (אליפסואיד ג'ון) ולהפך, נוכיח משפט ג'ון וכמה מסקנות, ונפנה לעבר המשפט האיזופרימטרי ההפוך. לשם כך נדבר על פוזיציות שונות של גוף (בינהן פוזיציית ג'ון, ופוזיציית "שטח-פנים-מינמלי") ועל מה שמאפיין אותן, ונציג את אי שוויון ברסקמפ-ליב ואיך הוא גורר את הא"ש האיזופרימטרי ההפוך. אם נספיק, נוכיח אותו, אם לא – לאחר הפסח (ואת האי שוויון ההפוך לו).          

 

 

ספרים רלוונטיים: ישנם מספר ספרים טובים בנושאי הקורס, שכדאי להיעזר בהם. ביניהם (לא לפי סדר חשיבות):

 

·       The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry, Gilles Pisier, Cambridge University Press

(מומלץ לדלג על פרק 2 בקריאות ראשונות, כמוכן פרקים 10-15 אינם רלוונטיים כלל)

 

·       Flavors of Geometry, Editor: Silvio Levy, Cambridge University Press

(פרק ראשון, עמודים 1-58)

here is a link to an early version. (כאן מופיעים גם חלק מהחישובים שביצענו בשיעור הראשון, ובשבוע החמישי)

 

·       The Concentration of Measure Phenomenon, Michel Ledoux, American Mathematical Society

(גישה יותר פונקציונלית, מעניינת כשלעצמה, מעט שונה מהגישה שננקוט בקורס)

 

·       Asymptotic Theory of Finite dimensional Normed Spaces, Vitali Milman and Gideon Schechtman, Lecture Notes in Mathematics 1200, Springer Verlag.

 

·       Euclidean Structure in Finite Dimensional Normed Spaces,
Apostolos Giannopoulos and Vitali Milman, here is a link.

 

·       The Brunn-Minkowski Inequality, R.J. Gardner.

here is a link to an early version which appeared on the net

(כאן מופיעות חלק מן ההוכחות מהשיעור של השבוע הרביעי)

 

 

עבודה מסכמת: התלמידים שזקוקים לציון בקורס מתבקשים לבחור נושא לעבודה מסכמת. עדיפות לנושא שנידון בשיעור, לא לעומק, ומעניין אתכם להעמיק בו, ולסכם את מה שתמצאו (בספרות, או בעצמכם). ברשימה מטה אני מציעה לכם נושאים אפשריים. על היקף העבודה עדיף לדון איתי באופן אישי, לאחר שתבחרו נושא שמוצא חן בעינכם. כוונתי היא לבין חמישה לעשרה עמודים מסוכמים (עדיף מודפס אך אפשר גם בכתב יד) הכוללים כמה הוכחות, סיכום של רקע הכללי, שימושים וכדומה, תלוי בנושא כמובן.

נושאים לדוגמא: (הקשורים לחומרים בהם נגענו עד עתה – ככל שנתקדם אוסיף נושאים אופציונליים).

(בנושאים אלה אשמח לספק לכם, או להפנות אתכם אל, מקורות חומר וספרות)

 

1. המאמר של אלסקר-דר-מילמן (כולל המשפט של גרומוב בו הם משתמשים)

קישור למאמר:http://www.springerlink.com/content/g75r7v8012740011

2. אי-שוויון איזופרמטרי למידה גאוסית

3. סימטריזציות מינקובסקי: תכונות ושימושים

4. סימטריזציות שטיינר: הוכחות פורמליות של התכנסות, שימושים והכללות.

5. טרנספורטציית מידה: על מחירים שונים, מרחק וסרשטיין בין מידות, ו/או א"ש לוג-סובולב, ו/או

היפרקונטרקטיביות ומשוואות המילטון-יעקובי.

6. מונז'-קנטרוביץ', הבעיה הדואלית לטרנספורטציה, והוכחה אלטרנטיבית לקיום מפת ברנייר.

7. אי שיוויון חינצ'ין – הוכחות, שימושים והכללות.

8. גרסאות פונקציוליות לאי-שוויון האיזופרימטרי, בובקוב.