חשבון דיפרנציאלי
ואינטגראלי 3
סמסטר סתיו 2010
מספר
קורס: 0366-2141
מרצה:
שירי
ארטשטיין-אבידן
)
artstein at gmail dot comדוא"ל:
(
טלפון
במשרד: 640-7614
מתרגל:
יובל הרנס
יובל
יתחזק אתר בוירטואל, כדאי לבקר בו לתרגילים והודעות
התרגילים
והודעות – שימושי מאוד!!
דרישות קדם: חדו"א
1 ו-2, לינארית 1 ו-2.
שעות הקורס:
יום ב'
10:10-12:00 בנין דן-דוד, חדר 110 ויום ד' 12:10-14:00, אורנשטיין 103.
שעת קבלה:
יום ד'
14:30-15:30 ועל-פי בקשה בדוא"ל.
דרישות הקורס:
הגשת לפחות 10
מהתרגילים, בציון עובר.
מבחן סופי: 30.01.11
בשעה 9:00.
תוכן הקורס, בקווים כלליים:
בקורס
שלושה חלקים עיקריים. הנושא הראשון (לא ארוך) נוגע בעיקר לגזירות ודיפרנציאביליות במימד
גבוה, הנושא השני, של עקומים ומשטחים, כולל משפטי מפתח כמו משפט הפונקציה ההפוכה,
משפט הפונקציה הסתומה, והמשפטים הנוגעים לכופלי לגרנז' ולמציאת אקסטרמום תחת
אילוץ, והנושא השלישי כולל בעיקר את נושא האינטגרציה (אינטגרלים מרובים, אינטגרלים
משטחיים) ומשפטים כמו גרין, סטוקס ודומיהם. בתוך הנושא השלישי נהוג לדון גם יותר
לעומק בתבניות דיפרנציאליות וגם לנגוע בפונקציות הרמוניות, פונקציות ביתא וגמה,
והומוטופיות.
תוכנית מפורטת יותר (ונתונה לשינויים): לפי שבועות (בכל שבוע
ארבע שעות הוראה ושעתיים תרגול)
1) הקדמות: המשפטים המרכזיים בקורס, מטרות הקורס.
הקדמות מתמטיות: מרחבים מטריים, נורמות, מכפלה פנימית, קבוצות פתוחות וסגורות,
קומפקטיות, כיסויים (למת היינה-בורל).
2) מושג הרציפות, העתקות לינאריות ונורמה
אופרטורית, עקומים במרחב רב-מימדי, קשירות מסילתית. גזירות ודיפרנציאביליות,
נגזרות חלקיות, אופרטורים דיפרנציאליים. נגזרות מסדר גבוה. עד כאן דברים שנלמדו
בחדו"א 2.
3) משטחים
בשלושה מימדים, וביותר (שלוש הגדרות). מרחב משיק, נורמל. הקדמה למשפט הפונקציה
הסתומה וההפוכה.
4) משפט הפונקציה ההפוכה. שימוש למשטחים. משפט
ההעתקה הפתוחה.
5) כופלי לגרנז'. אקסטרמום של פונקציה תחת אילוצים. משפט הפונקציה הסתומה.
6) הקדמה למושג הנפח: מעט תורת המידה. קבוצות
זניחות – מידה אפס. משפט סארד. אינטגרלים מרובים, משפטים בסיסיים.
7) פוביני. שינוי משתנה באינטגרל, חישובי נפחים.
8) אינטגרלים לא אמיתיים. פונקצית גמה, בתא, לוג-קמירות.
9) אינטגרלים
משטחיים ושטח פנים. אורך מסילה.
10) משפט
הדיברגנץ ומסקנותיו. פונקציות הרמוניות.
11) תבניות
דיפרנציאליות, אינטגרלים קווים.
12) גאוס,
גרין, קושי.
13) הומוטופיות
14) חזרה על
החומר. מבחן לדוגמא.
ספרות:
מומלץ בחם, לכל הסטודנטים,
להיעזר בספרי עזר. על פי רוב אין הם מכסים את כל החומר, אך מועילים להבנתו ומכילים
תרגילים נוספים ולעיתים הסברים נוספים, שונים, שיכולים לעזור. הספר בסעיף (1)
מוצלח מאוד ומכיל חלק גדול מהחומר, אם כי לא בדיוק לפי הסדר הנלמד בכיתה, כמוכן
הוא מכיל חומרים שלא נעסוק בהם. ספרי האוניברסיטה הפתוחה בסעיף (2) מוצלחים מאוד
להפנמת החומר, אך הם ברמה נמוכה יותר מאשר הקורס שלנו. למי שכבר התרגל, הרשימות של
פרופסור סודין יכולות להמשיך ללוות אותו גם בקורס הזה, והן בדיוק ברמה שאליה אנו
מכוונים, וגם פחות או יותר בסדר שבו נלמד את החומר. ספרים באנגלית יש מאות ויותר,
אולם עליכם לחפש בכל אחד את החלקים המתאימים לקורס. נתתי כמה דוגמאות בסעיף (4),
מניסיוני כל סטודנט מתחבר לספר אחר. עוד עניין חשוב הוא שכל ספר משתמש בסימונים
קצת אחרים, מה שיכול לבלבל. בסעיף (5) כמה ספרים בגישות מתקדמות יותר מאשר נעשה
בקורס, ומומלץ למי ש(יש לו זמן ו-)רוצה להתעמק בחומר מזווית קצת אחרת.
1.
חשבון אינפיניטסימאלי מתקדם, חלק א' וחלק ב', פרופ' י. לינדנשטראוס, הוצאת
אקדמון.
2. ספרי האוניברסיטה הפתוחה (אינפי 3
ו-חדו"א ב')
3.
הרשימות של פרופסור סודין, גם בחדו"א 3, ישמשו אתכם היטב. הנה הקישור:
4.
ספרים באנגלית יש המון. בספרייה האזור סביב המספר 515 מכיל כל טוב, חפשו
ספרים המכילים מילים כגון
Analysis, Calculus,
Advanced, Modern
לדוגמא:
(כאמור, רק חלק מהפרקים בכל ספר יהיו רלוונטיים, ואין כל עדיפות מיוחדת לספרים
הרשומים מטה, אם כי הראשון והשלישי מפורסמים מאוד, ומיושנים בהתאם):
Fikhtengol'ts:
The Fundamentals of Mathematical Analysis (mainly Volume II)
Apostol:
Mathematical Analysis
Dieudonne:
Foundations of Modern Analysis
4.
ספרים בגישה קצת שונה ממה שנראה בכיתה, למתעניינים:
Manfredo
P. Do Carmo: Differential Forms and Applications
Lang: Introduction to differentiable
manifolds
Milnor: Topology from the Differentiable
Viewpoint