סמינר סטודנטים

יש אתר חדש לסמינר: http://www.math.tau.ac.il/~pelegm/sseminar/

ניתן להצטרף לרשימת התפוצה של הסמינר.

הרצאות

תאריך מרצה נושא קובץ
26/12/10 אורי גרופל
ריכוז מידה במימדים גבוהים.
אני אציג תוצאות שונות בתחום כגון: אי שוויון איזופרמטרי בספרה, ריכוז של פונקציות ליפשיץ ומשפט סודקוב. אני אדבר על עיקרי ההוכחות ועל שאלות אפשריות שעדיין לא נענו.
9/1/11 ינון ספינקה
מה ניתן לומר על גבול נקודתי של פונקציות רציפות?
אני אדבר על התכונות של פונקציות שהינן גבול נקודתי של פונקציות רציפות. נשתמש במשפט הקטגוריה של Baire בכדי להראות שלפונקציה כאלה יש למעשה הרבה נקודות רציפות.
כמו כן, אם יהיה זמן, נוכיח את הטענה הבאה:
תהי

f:[0,∞)→ R

רציפה. נניח שלכל

x∈[0,∞)

קיים הגבול

limn→∞ f(nx)

אז קיים הגבול

limx→∞ f(x)

yinon_seminar_lecture.pdf
23/1/11 יניב גנור
גיאומטריה טרופית ומשפט Bezout טרופי
גיאומטריה טרופית היא תחום חדש במתמטיקה, ניתן לתארו בערך כגרסה ליניארית-למקוטעין של גיאומטריה אלגברית, לגיאומטריה טרופית קשרים עם גיאומטריה מרוכבת וממשית. בהרצאה אציג הגדרות שקולות שונות לעקומה טרופית, ואציג גרסאות טרופיות של כמה מהמשפטים הקלאסיים אודות עקומות אלגבריות, בפרט גרסה טרופית של משפט בזו, אודות מספר נקודות החיתוך של שתי עקומות. אם יוותר זמן אציג כיצד ניתן לקבל את משפט בזו הקלאסי מהמשפט הטרופי.
6/2/11 פלג מיכאלי
משחקי מיצוב (Positional Games)
האם קיימת אסטרטגיית ניצחון במשחק איקס-עיגול תלת-מימדי עם לוחות בגודל 4? מי מנצח במשחק הקס (Hex)? האם יכול להיות שם תיקו? התיאוריה של משחקי מיצוב היא ענף קומבינטורי השם לעצמו למטרה לפתח באופן שיטתי מגוון רחב של משחקים פשוטים-לכאורה לשני שחקנים עם מידע מושלם (Perfect Information), כאשר השאלה המרכזית הנשאלת היא האם יש לאחד מן השחקנים אסטרטגיית ניצחון, ובכך המחקר הופך דטרמניסטי.
בהרצאתי אתן סקירה כללית על משחקים על גרפים, אצטט תוצאות טריביאליות ולא-טריביאליות (בלי להוכיח כמעט כלום) ואנסה לשים דגש על מתודת ה"משחק" ככלי לאיפיון גרפים.
22/2/11 אלון ניסן-כהן
הדבקה אלגברית
בהרצאתי אעסוק בבעית גלואה ההפוכה, ואתן הוכחה (בקווים כלליים) של Harbater לכך שכל חבורה סופית ניתנת למימוש (מופיעה כחבורת גלואה של הרחבת גלואה) מעל (Qp(x, שדה הפונקציות הראציונלית עם מקדמים p-אדיים. הטכניקה שנשתמש בה לצורך ההוכחה היא זו של הדבקה אלגברית: בהינתן אוסף של חבורות G1,...,Gn, היוצרות חבורת-אם (סופית) G, ומימוש של כל אחת מהחבורות מעל שדה נתון E, טכניקה זו מאפשרת, תחת תנאים מסויימים, "להדביק" את המימושים למימוש של החבורה G מעל E.

In my lecture I will talk about the Inverse Galois Problem, and give (an outline of) a proof, due to Harbater, that every finite group is realizable (appears as a Galois group of a Galois extension) over Qp(x), the field of rational functions with p-adic coefficients. The technique I will use to show this is the one of algebraic patching: given several groups G1,...,Gn, which generate a larger (finite) group G, and a realization of each one over some given field E, this technique enables us, under certain conditions, to "patch" those realizations into a realization of G over E.

1/3/11 אלון ניסן-כהן
הדבקה אלגברית - המשך
בהרצאתי אעסוק בבעית גלואה ההפוכה, ואתן הוכחה (בקווים כלליים) של Harbater לכך שכל חבורה סופית ניתנת למימוש (מופיעה כחבורת גלואה של הרחבת גלואה) מעל (Qp(x, שדה הפונקציות הראציונלית עם מקדמים p-אדיים. הטכניקה שנשתמש בה לצורך ההוכחה היא זו של הדבקה אלגברית: בהינתן אוסף של חבורות G1,...,Gn, היוצרות חבורת-אם (סופית) G, ומימוש של כל אחת מהחבורות מעל שדה נתון E, טכניקה זו מאפשרת, תחת תנאים מסויימים, "להדביק" את המימושים למימוש של החבורה G מעל E.

In my lecture I will talk about the Inverse Galois Problem, and give (an outline of) a proof, due to Harbater, that every finite group is realizable (appears as a Galois group of a Galois extension) over Qp(x), the field of rational functions with p-adic coefficients. The technique I will use to show this is the one of algebraic patching: given several groups G1,...,Gn, which generate a larger (finite) group G, and a realization of each one over some given field E, this technique enables us, under certain conditions, to "patch" those realizations into a realization of G over E.

8/3/11 נדב ישע
משפט דיריכלה

For many years it has been conjectured that every arithmetic progression of the form: a, a + d, a + 2d, ... (a,d)=1 contains infinitely many primes. In 1837 Dirichlet gave a proof, which opened a new area in mathematics: Analytic number theory. I will prove (selected parts of) this celebrated theorem.

nadav.pdf
15/3/11 דרור שפייזר
הרחבות אבליות - תאוריה וחישוב
משפט דיריכלה מובן באופן טבעי בהקשר של הרחבות אבליות של הרציונליים. מכאן, טבעי לחקור הרחבות אבליות של שדות מספרים ככלל, ולקבל הכללות למשפט דיריכלה. ברגע שהתכנית הזאת מתבצעת עולות עוד המון שאלות, חלקן חישוביות. נדבר על בעיית הילברט 12, שמבקשת לחשב נומרית את ההרחבות האבליות של שדה מספרים (בערך), ומה באמת אפשר לעשות עם מחשב היום.
29/3/11 רן עזורי
חבורת בראואר של שדה
מעל שדה המספרים הממשיים יש 3 אלגבראות חילוק (אסוציאטיביות) ממימד סופי - הממשיים עצמם, המרוכבים, והקואטרניונים. חבורות Brauer הוגדרו בניסיון למיין אלגבראות חילוק מעל שדה ויש להן שימושים באלגברה ובתורת המספרים. בהרצאה נדבר על יסודות תורת האלגבראות הלא חילופיות מעל שדה, נתאר בניה של חבורת בראואר של שדה ונחשב אותה עבור כמה שדות מפורסמים. בדרך ניתן הוכחות חביבות למשפט Wedderburn שכל חוג חילוק סופי הוא שדה, ולמשפט של Frobenius הממיין את אלגבראות החילוק מעל המספרים הממשיים.
12/4/11 קרינה סמבליאן
מספרים נורמליים
מספרים נורמליים אלה מספרים שהפיתוח שלהם לפי כל בסיס הוא 'אקראי'. בורל היה הראשון לראות שכמעט כל המספרים הם נורמליים (במובן מידת לבג). יחד עם זאת, קשה לקבל תיאור מספק של מספר נורמלי לפי כל הבסיסים או אפילו לפי שני בסיסים שונים. בהרצאה נציג הוכחה למשפטו של בורל, ודוגמא למספר נורמלי לפי בסיס אחד לפחות. ניראה הגדרות שקולות של מספרים נורמליים - בין השאר, ניראה מה הקשר להתפלגות אחידה של סדרת מספרים על מעגל היחידה וכתוצאה מכך לניסוח 'ארגודי' של משפט בורל. ככל שיותיר הזמן, נציג עובדות נוספות והשערות בנושא, הקשורות לתורת המספרים (פחות או יותר), טופולוגיה ואולי מדעי מחשב.
27/4/11 אורי גרופל
העברת מידה (Measure Transportation)
אני אתחיל מלהציג את בעיית הטרנפורטציה של Monge ואת הניסוח המודרני יותר של Kantorovich, בנוסף נסתכל על משמעותן של פונקציות עלות שונות. ישנם שני כיוונים עיקריים שאני חושב לדבר עליהם:
1. פיתוח התיאוריה של בעיית הטרנספורטציה: קיום פתרונות, יחידות, הניסוח הדואלי ורגולריות הפתרונות.
2. שימושים גיאומטריים: העתקת Brenier, אי שוויונים גיאומטרים כגון Brunn-Minkowski Prekopa Leindler ו- Marton-Talagrand
כנראה שאני אדבר יותר (או רק) על החלק השני, אבל זה יכול להשתנות על פי הרכב הקהל.
11/5/11 זמר קוזלוב
A demonstration of Non-Singular Ergodic Theory through non-singular odometers
תיאור ההרצאה בקובץ המצורף.
zemer.pdf
24/5/11 נעמי פלדהיים
פונקציות כמעט מחזוריות, או מה בין סכומים טריגונומטריים למערכת כוכבים?
לגרנז' הציע בסוף המאה ה-18 את המודל הפשטני הבא למערכת כוכבים: סביב השמש, אשר קבועה במקומה, נע כוכב לכת במהירות זוויתית קבועה וברדיוס קבוע. לכוכב זה יש ירח, שנע סביב הכוכב במהירות זויתית אחרת ורדיוס אחר. לירח זה יש לווין (שנקרא לו ירח 2), הנע סביבו באופן דומה עם פרמטרים אחרים, וכו'. מה ניתן לומר על המערכת הכוללת? למשל, מהי המהירות הזוויתית הממוצעת של הירח ה-n-י סביב השמש?
כפי שנראה, מבחינה מתמטית מדובר בניתוח של סכום טריגונומטרי לאורך זמן. אם התדרים ב"ת מעל הרציונלים, סכום זה אינו מחזורי, אך בכל זאת יש לו תכונות "כמעט מחזוריות" ולכן פונקציה כזו נקראת "כמעט מחזורית". נסקור כמה תכונות של פונקציות כאלו, נעשה כמיטבינו לענות ללגרנז' על שאלתו, וגם ניתן הסתכלות הסתברותית על הבעיה. אם יהיה זמן נדבר על בעיות המשך פתוחות.
21/6/11 עדי גליקזם
קצת על תורה ארגודית ומערכות דנמיות
בהרצאתי אדבר על תורה ארגודית וממה היא התפתחה דווקא מנקודת מבט מידתית (לעומת זו ההסתברותית שהוצגה כבר ,בהרצאתו של זמר). תחילה אציג מהי מערכת דינמית באופן כללי, ובפרט מהי מע' דינמית טופולוגית ומהי מע' דינמית מידתית. בעיקר ארצה להתמקד במונחים ארגודיות, ערבוב וערבוב חלש בעיקר במערכת דינמית מידתית, ואולי אזכיר גם את זו הטופולוגית. נראה גם לפחות דוגמא אחת של שימוש בתורה ארגודית להוכחה של משפט נובל (מספרים נורמליים- ההרצאה של קרינה).
5/7/11 אינה אנטובה
Category of representations of GL(t), where t is not necessarily an integer
מימד של מרחב וקטורי הוא מספר טבעי או אינסוף. בהרצאה זו ננסה להראות כי אוסף המרחבים הווקטוריים בעלי מימד סופי ניתן להכליל כך שה"מימדים" יהיו מספרים מרוכבים שרירותיים.
אני אסביר את המבנה של קטגוריית ההצגות של החבורה (GL(n (כאשר n טבעי), כולל דואליות של Schur-Weyl המפורסמת, ואסביר כיצד לבנות קטגוריה ((Rep(GL(t, אשר תהווה הכללה של הקטגוריות המקוריות עבור t מספר מרוכב. אובייקטים בקטגוריות החדשות יהיו אנלוגיים של הצגות של החבורה (GL(n , אך בעלי מימד מרוכב.

The dimension of a vector space is always a natural number or infinity. In this talk, we will try to show that the collection of finite dimensional vector spaces can be generalized in a way that the "dimensions" may be any complex numbers.
I will explain the structure of the category of representations of GL(n) (n - non-negative integer), including the famous Schur-Weyl Duality, and explain how to construct the category Rep(GL(t)) (t- complex number), which will generalize the original categories and whose objects will be analogues of finite dimensional representations of GL(n), but with complex dimension.

19/7/11 דימה פייפמן
"אי-שוויונות סיסטוליים" - "Systolic inequalities"

The isoperimetric problem is extremely ancient and famous, and gave rise to a lot of beautiful mathematics.
I will talk about a yet another variation on this theme - comparing the systole and the volume of a Riemannian manifold.
The systole is the length of the shortest non-contractible closed curve.
You probably think that if the volume is small, the systole can't be too large. Strangely, this is not so, and the effect depends very much on the underlying topology.
Still, it is true for aspherical manifolds.
We will start with the inequalities of Loewner and Pu concerning the 2-d torus and projective plane, proved in the 40's, and arrive at the famous Gromov's systolic inequality from the 80's.

"A math lecture without a proof is like a movie without a love scene. This talk has two proofs"
-H. Lenstra

2/8/11 דרור שפייזר
Computation

Say you wanted to check if a specific transform is ergodic (or, better yet, you wanted to compute zeros of the Riemann zeta function!). The transform is complicated. You tried some sums, some integrals, yielding nothing. Maybe you're just not good enough. So you want to try and test this on a computer. Numerically apply the transform many times over many numbers, and see what happens. You multiply some numbers, apply cosine twice, and divide by pi. Wait, how did you multiply some numbers? Apply cosine?! Pi?!?! This lecture will be an introduction to the most advanced techniques for the most basic operations of computing. Pi?!?!

למי שמעוניין ניתן לראות את האתר של סימנר הסטודנטים בשנים 2004-2007.