3. Из функционального анализа в асимптотический геометрический анализ.

 

3.1. Введение. Классический (бесконечномерный) функциональный анализ.

Функциональный анализ возник в начале 20-го столетия и был ведущей силой в развитии анализа в течение большей части этого столетия. Многие задачи и направления классического анализа были переосмыслены и приобрели второе дыхание в рамках функционального анализа. Столь естественно возникающие в рамках гармонического анализа разные типы сходимости и естественные классы бесконечномерных пространств привели к развитию топологии и понятиям нормированного и топологического пространств, а также к понятиям полноты и пространств Банаха. Линейная алгебра и теория Фредгольма интегральных операторов привела к развитию теории операторов. Теоремы существования (и единственности) для разнообразных уравнений, включая интегральные и дифференциальные уравнения, а также уравнения в частных производных (PDE), кристаллизовали понятие компактности и привели к многочисленным теоремам о неподвижных точках, теоремам вложения Соболева, а также теории интерполяции. Потребности физики (и, опять-таки, классического анализа и PDE) привели к теории (неограниченных) самосопряженных операторов и распределениям Л.Шварца.

Затем идет развитие алгебраического анализа, начатого работами Гельфанда в конце 30-х и 40-50 годах по нормированным кольцам (алгебры Банаха, как мы называем их сегодня), и продолженного также Гельфандом и его школой в невероятном по охвату спектре направлений и проблем, включающих, к примеру, бесконечномерную теорию представлений. Возникшая параллельно теория факторов фон Неймана и теория С*-алгебр, переросшая под влиянием А.Кона (A.Connes) в изумительную по красоте и глубине некоммутативную геометрию, все еще находится на взлете своего развития и, я думаю, далека от пика. Даже в самом сжатом перечне к этому надо добавить влияние сил, выращенных внутри функционального анализа, на развитие таких прикладных направлений, как теория приближений и оптимизации, теория игр и PDE, а также на развитие Computer Science.

Однако все эти названные (и не названные) мною области в течение короткого времени после их возникновения переростали в самостоятельные научные направления. Возможно, как раз в силу их быстрого успеха. Естественно, в течение определенного времени после фактического отделения, эти области и многие специалисты, работающие в них, продолжали считать, что они занимаются собственно функциональным анализом. Я думаю, оглядываясь назад, они бы не сказали этого сегодня.

В результате, к середине 60-х годов, функциональный анализ (ФА) оголился до проблем, которые мы условно называли (и называем) геометрическими. Так называемый геометрический ФА оказался собственно ФА. В течение длительного времени геометрический функциональный анализ (ГФА) сводился несколько упрощенно к двум классам задач.

Во-первых, это изучение геометрии бесконечномерных выпуклых тел, начатое, повидимому, в работах Д.П.Мильмана в конце 30-х годов. Первая (1938) очевидно геометрическая теорема утверждает, что равномерно выпуклое пространство рефлексивно, т.е. локальная геометрия единичной сферы влечет глобальное топологическое свойство рефлексивности. Затем последовал поток результатов с разными соавторами из знаменитой Одесской школы М.Г.Крейна. Например, теорема Крейна-Мильмана о крайних точках (1940), связывающая геометрию и топологию с линейной структурой, либо введенное Бродским и Д.Мильманом (1948) понятие нормальной структуры и связанные с ним теоремы о неподвижной точке, и т.д. Эта линия исследования была продолжена с 50-х годов Джеймсом (R. James) в Соедененных Штатах и

М. Кадецом (на Украине) , А. Дворецким и его школой в Израиле, а также

А. Пелчинским и его школой (в Польше). Она успешно продолжалась вплоть до 60-х и 70-х годов. Например, удивительные по красоте и неожиданности работы Джеймса (R.James) по нерефлективности, либо замечательная теорема Дворецкого (1960), которая понималась в то время как продолжение этой линии мышления (я не считаю так сегодня). Последовавшие затем понятия спектра функции и возмущения (distortion) связали геометрию типа теоремы Дворецкого с линейной структурой бесконечномерного пространства (состояние этой области на конец 60-х годов можно почувствовать из обзора [M71a]; современный взгляд и последующее развитие см. в обзоре [O.00] ). Отдельные замечательные результаты появлялись и позже. Скажем, понимание Морэ (B.Maurey) нормальной структуры и теорем о неподвижных точках, либо близкое к спектру понятие стабильных норм, введенное Кривином и Морэ и связанные с ними теоремы об пространствах. Но в целом, наше понимание геометрических задач изменилось, и я буду обсуждать их позже.

Другое направление ГФА занималось, еще со времен самого С.Банаха, изучением линейной структуры бесконечномерного пространства Банаха. Но что мы подразумеваем, говоря о линейной структуре?

Существует классическое понимание, развивающееся еще с 30-х. годов: поиск подпространств с большой группой симметрий (естественно, симметрии понимаются в изоморфном смысле, с точностью до констант, т.е. как ограниченные операторы), подпространств с различными хорошими свойствами. Выдающуюся роль в этом развитии продолжала играть польская школа функционального анализа , группирующаяся вокруг А.Пелчинского. Идеальная цель: указать, как произвольное пространство Банаха может быть построено из как можно более простых (т.е. с огромной группой симметрий) блоков. Например, любое ли бесконечномерное пространство Банаха содержит подпространство изоморфное одному из либо с_о , либо подпространство с безусловным базисом? И другие подобные вопросы. Многие замечательные результаты в этом направлении изложены в книгах [LT77], [LT79], а также в обзорах [M70], [M71a].

Однако недавние достижения (Gowers - Maurey [GM93], и последующая серия работ Гауэрса, см. например [G94]) показали насколько упрощенным было такое понимание возможностей, заложенных в понятии нормы и пространства Банаха. Важно отметить, что первым прорывом в направлении совершенно новой конструкции нормы была чрезвычайно оригинальная (и не тривиальная) работа Цирельсона [Ts74]. Он создал, по моему мнению, первое не классическое нормированное пространство. Норма в этом пространстве определена не формулой, а уравнением (в небольшом обзоре [M96b] я описываю это развитие). Конструкция Цирельсона к настоящему времени исследована, что называется вдоль и поперек. Много неожиданностей (и достижений) оказалось связанными с ней. Обзоры [O.00] и [Ма94] введут заинтересованного читателя в часть этих достижений. Необходимо отметить здесь, что прорывы 90-х годов (а это не только несколько замечательных контр-примеров к открытым проблемам прошлого, но и построение новой бесконечномерной геометрии выпуклых тел) были непосредственно инспирированы указанной работой Цирельсона (1974) и проблемами спектра-возмущения (concept spectrum-distortion) введенными в 60-х. годах (две работы показательны здесь [M69] и [M71a]). Таким образом 20-ти летний период между началом 70-х годов и 90-ми годами в деятельности, связанной с теорией бесконечномерных пространств Банаха, оказался не нужным при получении результатов, на которые были направлены все главные усилия этой теории. Вместе с тем несколько замечательных результатов были получены в это время. Например, решение П.Энфло двух проблем, открытых со времен Банаха : пример пространства Банаха без базиса и построение оператора без инвариантного не тривиального подпространства. Но особенно следует отметить два новых направления. Одно из них идет еще от Гротендика (конец 50-х годов), но было объяснено специалистам в Ф.А. в работе 68-го года Линденстрауссом и Пелчинским. Это геометрическая теория операторов. Продолженная затем Питчем, эта теория быстро превратилась в один из центральных аппаратов ГФА (см., например, [Pi.86]). Другое направление, инициированное и развитое Морэ (B.Maurey) и Пизье (G.Pisier) с середины 70-х годов , это теория типов-котипов (type-cotype theory). Она принесла в абстрактный ФА идеи и методы теории вероятности и гармонического анализа и имела доминирующее влияние до середины 80-х годов (см. [MS]). Однако эти новые направления смотрели, в основном, в другую сторону и оказались важными в асимптотической теории, к которой мы переходим.

 

3.2. Другой взгляд на понятие линейной структуры.

В этом параграфе мы укажем на совершенно другое понимание линейной структуры, отличное от классического, которое мы обсуждали ранее. На самом деле в настоящее время существует два разных понимания, два, в определенном смысле, противоположных пути в изучении структур, заменяющих классическое понимание линейной структуры. Однако, оба эти пути изучают определенные асимптотики поведения конечномерных линейных подпространств данного нормированного пространства.

3.2.1. В первом из этих подходов мы рассматриваем определенное семейство конечномерных пространств, содержащее пространства сколь угодно большой размерности. Например, семейство всех конечномерных пространств, либо всех конечномерных подпространств данного нормированного (бесконечномерного) пространства. Оказывается, когда размерность пространства растет и уходит к бесконечности, замечательные и неожиданные закономерности прячутся за растущим с размерностью кажущимся и ожидаемым разнообразием. На самом деле, я вижу в этом подходе другой взгляд на понятие бесконечномерного пространства. Теперь это не одно пространство, а семейство пространств, каждое из которых конечномерно, но их размерность в совокупности не ограничена, и асимптотики поведения выявляют бесконечномерные явления, не свойственные ни индивидуальным конечномерным пространствам, ни бесконечномерным пространствам. Именно эта теория называется мною асимптотическим геометрическим анализом. В своей начальной стадии она часто называлась локальной теорией. Бурное развитие с середины 70-х до середины 80-х годов привело к пониманию, что мы имеем дело с направлением, отличным от задач и целей классического ФА, хотя и тесно связанным с последним (см. книги [MS86], [Pi89] и [TJ89]). Мы назвали его вначале (середина 80-х годов) геометрическим анализом, поскольку он изучал геометрические объекты с помощью идеологии анализа (я подчеркиваю здесь идеологию, а не технику). Индивидуальный геометрический объект (например, выпуклое тело в фиксированном пространстве) превратился в семейство объектов (например, семейство выпуклых тел в различных пространствах растущей размерности). Асимптотические свойства таких семейств отражают изоморфные геометрические свойства семейства. В этом заложено принципиальное отличие нашего подхода от стандартного геометрического видения, при котором изучаются изометричные (либо почти изометричные) свойства (см. [M96а]). В следующем параграфе я приведу несколько точно сформулированных утверждений и мы увидим примеры образцов поведения (patterns of behaviour) таких семейств.

Однако сочетание геометрический анализ оказалось невероятно притягательным для многих групп, занимающихся очень разной математикой, и его использование перестало быть разумным (одна из форм pollution в математике). Поэтому мы используем сейчас термин асимптотический геометрический анализ, но также и выпуклый геометрический анализ, во-первых, потому, что мы изучаем, в основном, асимптотику поведения выпуклых тел, а во-вторых, потому что происходит слияние этой области с классической теорией выпуклости и теорией геометрических неравенств, что удачно подчеркивается таким названием.

3.2.2. Я хочу в нескольких фразах отметить теперь совсем недавний подход к выявлению чисто бесконечномерных явлений, не имеющих конечномерных аналогов, но изучаемых с помощью специально отобранных для этой цели семейств конечномерных пространств данного пространства. Это так называемая асимптотическая бесконечномерная теория (см. [MMT95] и [O.00]). В этом подходе мы отметаем всю информацию конечномерного характера и изучаем пространство на бесконечности.

Фундаментальным понятием в этой теории является понятие асимптотического (конечномерного) пространства данного бесконечномерного пространства Банаха X. Основная идея, стоящая за ним - это стабилизация на бесконечности конечномерных подпространств фиксированной (но любой) размерности, которые появляются в X всюду достаточно далеко. Я понимаю насколько туманно это звучит и собираюсь немедленно уточнить конструкцию. Зафиксируем целое число k. Для подпространства конечной коразмерности (скажем codim E=n) обозначим замыкание в метрике Банаха - Мазура множества всех k-мерных подпространств E. Обозначим семейство k-мерных пространств (рассматриваемое как подмножество компакта Банаха - Мазура всех k-мерных нормированных пространств), являющееся пределом (или, что то же, пересечением) вдоль фильтрации подпространств с конечной коразмерностью при коразмерности n® ¥ . В силу простых соображений компактности не пусто. Это и есть асимптотические k-мерные пространства изначального пространства X. Более рабочий подход к описанию этого множества использует язык теории игр, введенный для близких целей Гауэрсом (Gowers) - см. [MMT95].

Совокупность всех асимптотических пространств , k=2,3,..., и есть асимптотическая линейная структура X (построенная вдоль фильтрации всех подпространств с конечным дефектом, однако фильтрации могут выбираться и другими способами). Я предпочитаю отослать здесь читателя к оригинальным работам и пока единственному обзору на близкую тему [O.00].

 

3.3 Асимптотический геометрический анализ, несколько примеров.

Я собираюсь в этом параграфе на нескольких примерах показать, что асимптотический взгляд на пространства высокой размерности открывает новую интуицию и получаемые результаты не были (и не могли быть) предсказаны на основании опыта и интуиции в изучении бесконечномерных пространств либо пространств фиксированной размерности. Примеры специально подобраны так, чтобы все используемые объекты и понятия были классическими, даже элементарными. Таким образом легче сравнить результат со своей собственной интуицией. Для лучшего ознакомления с этой теорией я уже рекомендовал выше три монографии. Добавим к этому несколько обзоров, подчеркивающие разные стороны теории и разные возникающие в теории идеи: [LM93],[GM00],[M96а],[M98],[M00].